О математике как педагогической задаче

В чем главная задача  обучения математике? Для чего учить математику? Что такое математика для человека? Этими вопросами педагоги задавались с незапамятных времен, а с середины XX века, когда процесс математизации  знаний стал происходить особенно бурно, они встали с особой остротой.

В организации современного производства и торговли, в биологии и медицине, в экономике и военном деле стало уже невозможно оставаться на позициях полу интуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных  вопросов. Если конструктор создает автомат для управления технологическим процессом, то для  решения этой задачи недостаточно одних идей и представлений. Фразу  «мешать тесто до готовности» машина не понимает. Нужны определенные и совершенно точные указания, когда остановить  тот или иной процесс.

На каждом шагу своей деятельности человек сталкивается с необходимостью точных количественных методов описания  разнообразных процессов. Поэтому представляется крайне важным  с первых шагов овладения математическим знанием приучать учащихся не только познавать  формальные математические сведения, но и учиться умело их применять к исследованию явлений природы и различных процессов, с которыми человек сталкивается на практике. Математика должна стать для человека не просто системой знаний, а полноценным и необходимым методом исследований, которые связаны с задачами ежедневной практической жизни. Она должна стать мощным инструментом познания окружающего мира. Многознание, как цель, уму не научает, учить же математику  следует потому, что «она ум в порядок приводит» (М. В. Ломоносов).

Таким образом, задача обучения математике состоит не только в простом усвоении некоторой суммы математических сведений и их репродуктивном воспроизведении, но, в гораздо более значительной степени в усвоении способов открытия (приобретения) этих знаний. Эти проблемы раскрывает  в своей книге «Трилогия о математике» (Изд. «Мир», М. 1980 г.) талантливый популяризатор науки, известный венгерский математик Альфред Реньи.

Яркое и глубоко философское произведение будоражит мысль читателя и может стать замечательным подспорьем для педагога в организации так называемых сократовских бесед, в ходе которых их участники могут открыть и под руководством опытного наставника самостоятельно сформулировать те или иные понятия. Так добытое знание прочнее и дороже приобретенного без творческого труда, оно становится своим собственным достоянием для человека. Метод дает возможность лучше усвоить изучаемый материал и одновременно выработать свой собственный подход. Познание становится активным.

Хочется проиллюстрировать сказанное небольшими фрагментами из «Диалогов о математике», которые открывают эту книгу, безусловно заслуживающую прочтения целиком.

Первый диалог разворачивается между Сократом, непременным участником всех диалогов древних  философов, и начинающим философом Гиппократом. Гиппократ желает углубить свои знания, и Сократ постепенно помогает ему открыть предмет математических исследований, пути образования математических понятий, истоки которых находятся в непосредственном восприятии окружающего нас мира.

Сократ ставит вопрос, особенно актуальный в наше время: «Уж не думаешь ли ты, что метод, применяемый математиками при изучении чисел и геометрических фигур, пригоден только для нужд математики? Почему бы тебе не попытаться убедить людей в том, что о чем бы они ни размышляли – о насущных ли проблемах повседневной жизни или о государственном устройстве, – методы мышления остаются по существу такими же, какие применяют в своей области математики?»

И вот как разворачивается диалог.

«Сократ. Тогда скажи мне, любезный Гиппократ, чем  занимаются и что изучают математики?

Гиппократ. Я спрашивал об этом у Теэтета, и он ответил мне, что математики изучают числа и геометрические фигуры.

Сократ. Ответ хорош, я сам не мог бы ответить на твой вопрос лучше. Но подумай: можно ли утверждать, что числа и геометрические фигуры существуют?

Гиппократ. Полагаю, что можно: ведь если бы они не существовали, то, как бы мы могли вообще о них говорить?

Сократ. Ты прав, но  вот что меня смущает. Можно ли утверждать, что, например, простые числа существуют в том же смысле, в каком существуют небесные светила или рыбы? Существовали бы простые числа, если бы не было математиков?

Гиппократ. Я начинаю сознавать, к чему ты клонишь. Дело действительно обстоит не так просто, как мне казалось, и должен признаться, что твой вопрос ставит меня в тупик.

Сократ. Тогда я поставлю вопрос по-другому. Как, по-твоему, будут ли светила сиять в небесах, если некому будет наблюдать их, а рыбы плавать в море, если никто не станет ловить их ни для того, чтобы употребить в пищу, ни для того, чтобы исследовать их строение?

Гиппократ. Будут, конечно.

Сократ. А где были бы простые числа, если бы математики раздумали их изучать?

Гиппократ. Простых чисел не было бы нигде, потому что, когда математик размышляет о простых числах, те существуют у него в голове. Следовательно, если никто не станет думать о простых числах, то их нигде и не будет.

Сократ. Так верно ли судят о математике те, кто утверждает, будто математика занимается изучением чего-то такого, что не существует вне?

Гиппократ. Думаю, что они не ошибаются.

Сократ. А буду ли я прав, если стану утверждать, будто математика занимается изучением чего-то такого, что не существует или, по крайней мере, существует не в том смысле, в каком существуют небесные светила или рыбы?

Гиппократ. Несомненно!

Сократ.    Не торопись  и не давай    опромет¬чивых   ответов.  Нет  ли  у  тебя    с   собой   восковой дощечки?

Гиппократ.  Как не быть! Вот она.

Сократ. Следи внимательно: на дощечке я напишу какое-нибудь число, например число 29. Как, по-твоему: оно существует?

Гиппократ. Конечно, ведь мы видим его и даже можем дотронуться до него рукой.

Сократ. Значит, числа все-таки нечто существующее?

Гиппократ.  Уж  не хочешь  ли ты  посмеяться надо мной, почтенный Сократ? Смотри: я нарисовал на восковой табличке льва и дракона с семью головами. И того, и другого ты видишь своими глазами. Но львы действительно существуют, а драконов нег и в помине. По крайней мере, мне никогда не приходилось видеть дракона, и мне не встречался никто, даже среди глубоких старцев, кому на своем веку доводилось   видеть  дракона.   Если  же  я  ошибаюсь,  и где-нибудь за Геркулесовыми столпами все же водятся драконы, то и тогда они существуют отнюдь не потому, что на этой восковой табличке я изобразил некий плод моего воображения. Если драконы вообще существуют, то они существуют, даже если бы я не нарисовал ни одного из них.

Сократ. Ты совершенно прав, дорогой Гиппократ. Сдается мне, что ты схватил истину за ворот. Значит, хотя мы и толкуем о числах или можем написать их, это еще не означает, что числа реально существуют?

Гиппократ. Да, по крайней мере, не существуют в том смысле, в каком существуют львы или небесные тела.

Сократ. Над этим следовало бы еще поразмыслить. Кое-что смущает меня по-прежнему. Скажи, можно ли сосчитать овец на лугу или корабли в гавани Пирея?

Гиппократ. Нет ничего проще!

Сократ. А существуют ли овцы и корабли?

Гиппократ. Разумеется, существуют!

Сократ. Но если существуют овцы, то разве не существуют числа, позволяющие нам пересчитывать овец? Сдается мне, что математики все же занимаются изучением чего-то существующего.

Гиппократ. Ты снова шутишь Сократ, но я не потерплю насмешек! Математики, да будет тебе известно, не ведут счет овцам. Это — занятие овцеводов, к тому же не требующее особой учености.

Сократ. Должен ли я понимать тебя так, что математики занимаются не счетом овец или кораблей, а изучением самих чисел? то есть их интересует нечто, существующее не в действительности, а лишь в их сознании?

Гиппократ. Именно так я и думаю.

Сократ. Если мне память не изменяет, ты утверждал, ссылаясь на Теэтета, что математики занимаются изучением чисел и геометрических форм. Дабы избежать поспешных выводов, попытаемся выяснить, не обстоит ли дело с геометрическими фигурами так же, как с числами? Что бы ты ответил мне, если бы я спросил, существуют ли геометрические фигуры?

Гиппократ. Ответил бы, что существуют. Ведь если гончару удастся ваза, то всякий скажет, что она красива на вид и имеет изящную форму. Геометрические фигуры мы можем видеть своими глазами, прикасаться к ним руками. Мне кажется поэтому, что у нас есть все основания считать геометрические фигуры существующими.

Сократ. Мой дорогой Гиппократ, ты так прекрасно выразил свою мысль, что почти убедил меня? Но позволь мне все же указать на одно место в твоих рассуждениях, которое мне не вполне ясно.

Гиппократ. Какое место, дорогой Сократ? Неужто и на этот раз я впал в ошибку?

Сократ. Сам посуди: что ты видишь, когда созерцаешь вазу? Саму вазу или ее форму?

Гиппократ. И то, и другое.

Сократ. Должно быть, с вазой все обстоит так же, как с овцой: когда ты видишь овцу, то видишь и овечью шерсть.

Гиппократ. Твое сравнение мне кажется весьма удачным.

Сократ. А мне сдается, что мое сравнение хромает,  как  Гефест.  Ведь овцу  можно  и  остричь,  и тогда ты сможешь любоваться овцой без шерсти и овечьей шерстью без овцы. А можно ли вазу отделить от ее формы?

Гиппократ. Нет, этого не в силах сделать ни я, ни кто-нибудь другой.

Сократ. И все же ты утверждаешь, что геометрические фигуры можно видеть?

Гиппократ. Я усомнился в этом.

Сократ. А мне теперь кажется, что форма вазы не может существовать в отрыве от вазы. Но скажи, если бы математики действительно занимались формой ваз или горшков, то не лучше бы им было называться гончарами?

Гиппократ. Резонно!

Сократ. Но если бы математики занимались формой ваз и горшков, то Теодор был бы искуснейшим гончаром, ибо кто более его сведущ в геометрических телах и фигурах? И все же, сдается мне, Теодор не сможет вылепить из глины даже простейший сосуд.

Гиппократ. Многие хвалили мне Теодора. Поэтому-то я вознамерился пойти к нему в ученики. Но ни от кого мне не приходилось слышать, что Теодор знает толк в гончарном искусстве.

Сократ. Может быть, математики занимаются изучением форм зданий, колонн или статуй? Но тогда их следовало бы называть архитекторами или скульпторами.

Гиппократ. Ты прав.

Сократ. Кажется мне, дорогой Гиппократ, что математики все же занимаются изучением не форм существующих предметов, а самих форм в чистом виде, нимало не заботясь о том, каковы носители этих форм. Более того, математиков интересуют даже не зримые и осязаемые формы и фигуры, существующие в обычном смысле слова, а формы, существующие лишь в их воображении. Ты тоже так считаешь?

Гиппократ.  Не стану спорить.

Сократ. Приведенных тобой примеров вполне достаточно. Попытаемся теперь подытожить все, к чему мы пришли. Итак, насколько можно судить, математика занимается изучением вещей, не существующих в природе, и позволяет утверждать об этих вещах неоспоримые истины. Можно ли сказанное мною считать итогом всех наших предыдущих рассуждений или же я несколько исказил их сущность?

Гиппократ. Клянусь Зевсом, ты точно выразил самую суть нашей беседы.

Сократ.   Тогда скажи мне, дорогой Гиппократ, не кажется ли тебе странным, что, если верить сказанному мной, о несуществующих вещах мы знаем   больше и знания наши более определенны, чем о вещах существующих?

Гиппократ. Это действительно странно, хотя понять, как такое может быть, выше моих сил. Я и не нахожу ошибок в наших рассуждениях, но меня не покидает ощущение, что где-то в них все же вкралась ошибка, только я не знаю, где именно.

Сократ. Но ведь каждый шаг в наших рассуждениях мы проверяли весьма тщательно и рассматривали со всех сторон. Ошибки здесь быть не может.  Впрочем, подожди! Мне сейчас пришла в голову одна мысль, которая поможет нам объяснить эту загадку.

Гиппократ. Говори, не медли! Неопределенность мне тягостна.

Сократ. Не далее как сегодня утром я был у второго архонта *, где разбиралось дело жены плотника из деревушки Питтос. Она обвинялась в том, что нарушила супружескую верность и с помощью любовника убила мужа. Женщина упорно лгала и клялась Артемидой и Афродитой, что никого не любила так, как своего мужа, и утверждала, будто мужа убил грабитель. Были допрошены многие свидетели. Одни утверждали, что женщина виновна, другие клятвенно заверяли архонта в ее невиновности. Установить истину так и не удалось.

Гиппократ. Ты поступаешь со мной не очень-то красиво, Сократ. Вместо того чтобы помочь мне найти истину, сбиваешь с толку и рассказываешь какие-то странные истории. Может быть, ты опять вздумал вновь посмеяться надо мной?

Сократ. Ты несправедлив, дорогой Гиппократ. Я не без умысла заговорил о женщине, виновность которой невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Одно лишь можно утверждать об этой женщине со всей определенностью: она существует. Я видел ее своими глазами, да и не только я один, а все, кто собрался в зале суда у второго архонта. Я могу назвать несколько почтенных людей, заслуживающих доверия, не солгавших ни разу в жизни даже в помыслах.

Гиппократ. В этом нет ни малейшей необходимости, дорогой Сократ. Твоего свидетельства для меня вполне достаточно, но, молю тебя, скажи, какое отношение имеет эта несчастная женщина к математике?

Сократ. Гораздо большее, чем ты думаешь. Но скажи прежде, знаешь ли ты предание об Агамем¬ноне и Клитемнестре?

Гиппократ. Кто же его не знает. В прошлом году мне довелось видеть трилогию Эсхила в театре.

Сократ.  Напомни кратко ее сюжет.

Гиппократ. Пока Агамемнон, царь Аргоса, вел десятилетнюю осаду Трои, его супруга Клитемне¬стра, нарушив святость брачных уз, вступила в преступную связь с двоюродным братом мужа Эгистом. Когда же после падения Трои Агамемнон возвратился домой, Клитемнестра вместе со своим любовником убила мужа.

Сократ. Скажи, Гиппократ, откуда Эсхилу стало известно, что Клитемнестра изменила мужу и убила его?

Гиппократ. Знаю, почему тебе пришло в голову расспрашивать меня о том, что хорошо известно каждому эллину. Эту историю можно найти и у Гомера: когда Одиссей был в преисподней, то встретил там тень Агамемнона, которая и поведала ему о своей печальной судьбе.

Сократ. Скажи мне, дорогой Гиппократ, а ты уверен, что Агамемнон и Клитемнестра действительно жили когда-то на свете и Гомер, повествуя о них, не уклонился от истины?

Гиппократ. Может быть, я заслуживаю, чтобы меня побили камнями, но позволь мне сказать со всей прямотой: я убежден, что по прошествии стольких веков невозможно с уверенностью сказать, жили ли такие люди, и если жили, то, как сложилась их судьба. Впрочем, это не имеет ни малейшего отношения к делу: ведь, говоря об Агамемноне и Клитемнестре, мы имеем в виду не реальных людей из плоти и крови, о которых, даже если они некогда и жили, нам известно весьма немного, а действующих лиц трагедии Эсхила, которых он изображает в духе гомеровской традиции.

Сократ. Правильно ли я тебя понял, дорогой Гиппократ? По-твоему, мы можем утверждать лишь, что о реальной Клитемнестре и реальном Агамемноне, если они когда-нибудь жили на свете, нам почти ничего не известно. Зато о Клитемнестре и Агамемноне, персонажах трагедии Эсхила, мы в праве со всей определенностью утверждать все, что нам известно о них со слов Эсхила. В частности, мы, не колеблясь, можем заявить, что Клитемнестра, о которой повествует Эсхил, изменила Агамемнону, упоминаемому в трагедии, и убила его.

Гиппократ. Ты правильно схватил суть моих слов, но я по-прежнему не понимаю, куда ты клонишь.

Сократ. Сейчас поймешь. Подумай сам, разве герои трагедии Эсхила — реально существующие люди?

Гиппократ. Нет.

Сократ. Смотри, что получается. Мы можем неопровержимо установить, что Клитемнестра из трагедии, порожденная поэтическим воображением и, по всей видимости, никогда не существовавшая в действительности, изменила другому вымышленному персонажу трагедии, Агамемнону, и убила его, хотя не можем выяснить, изменила ли живая женщина из плоти и крови, представшая сегодня перед судом, своему мужу и убила ли она его.

 


Страница 1 - 1 из 2
Начало | Пред. | 1 2 | След. | КонецВсе

 
 
 
Rambler's Top100

Веб-студия Православные.Ру