О математике как педагогической задаче

Гиппократ. Кажется, я начинаю догадываться, куда ты клонишь, но все же предпочел бы, чтобы ты сам сделал вывод.

Сократ. Изволь. Сдается мне, дорогой Гиппократ, что речь идет о том же, к чему мы пришли, рассуждая о математике. О несуществующих, вымышленных людях, персонажах трагедии, мы знаем несравненно больше (и знания наши носят более определенный характер), чем о людях реально существующих, живущих на земле. Что, собственно, означает наше утверждение о виновности Клитемнестры? Лишь то, что виновна Клитемнестра, вымышленная и описанная Эсхилом, поскольку ее виновность со всей очевидностью следует из трагедии. Это очень напоминает пример с прямоугольником, который ты привел со слов Теэтета, когда мы говорили о математике. Можно с уверенностью утверждать, что диагонали прямоугольника равны, поскольку это с абсолютной ясностью следует из свойств прямоугольника, каким его определяют математики.

Гиппократ. Итак, насколько я могу понять, ты, Сократ, утверждаешь, что математики занимаются изучением чего-то, существующего не в действительности, а лишь в их воображении, и располагают о своих «вымыслах» гораздо более достоверными знаниями, чем естествоиспытатели о том, что существует в действительности. Сколь ни парадоксальным кажется поначалу твое утверждение, оно, тем не менее, верно. Более того, если поразмыслить над ним, то оно перестает казаться удивительным и становится вполне естественным. Математика, занимающаяся изучением воображаемых, не существующих в природе объектов, именно потому и может устанавливать о них истину, что эти объекты такие, какими их создали. Реально существующие объекты ведут себя иначе. Они могут отличаться от общего представления о них, сложившегося у человека.

Сократ. Вот видишь, дорогой Гиппократ, ты докопался до истины и выразил ее лучше, чем смог бы сделать я сам.»

Третий диалог завершает предыдущие. В нем Альфред Реньи  языком Галилея говорит о невозможности исследования законов природы в отрыве от предмета математики и ее языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке,  и поэтому прочесть ее может только тот, кто знаком с ним, за века, прошедшие со времени Возрождения, много раз подтверждалась. Почти все технические разработки, большие и малые, описываются языком математических формул, графиков, схем. Сам математический язык не остается неизменным. По мере возникновения  новых задач познания  природы на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни. Математическая символика стала языком стенографической записи абстрактной мысли. Она делает научное изложение кратким и определенным, позволяет без дополнительных трудностей воспринимать сообщаемую информацию и не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Этот язык дает неограниченные возможности для общения с автоматом. Именно математике, как языку науки, посвящен заключительный диалог «Беседа о языке книги природы».

"Галилей. Свою мысль я выражу иначе: читать великую Книгу Природы может лишь тот, кто знает язык, на котором написана эта Книга, и язык этот — математика. Те, кто лишь болтает о природе, вместо того чтобы наблюдать ее и при помощи экспериментов заставлять рассказывать о себе, никогда не смогут по-настоящему постичь природу. Но если нам удастся заставить природу заговорить, то она заговорит на языке математики, и если мы не будем знать этого языка, то напрасными окажутся все наши старания: понять, о чем говорит с нами природа, невозможно. Заблуждается тот, кто считает (а таких, к сожалению, немало), что язык этот достаточно изучить лишь поверхностно, легко может случиться, что он не поймет то, о чем говорит природа, а если сам попытается что-нибудь сказать на языке математики, то раздастся лишь жалкий лепет. Среди естествоиспытателей найдется немало философов, которые придерживаются весьма странных (я бы сказал, даже варварских) взглядов на математику. Ныне они уже не могут отрицать, что математика необходима, но полагают, будто каждому, кто применяет математику для изучения природы, нет надобности знать ее в совершенстве. Эти недальновидные люди утверждают, что их интересуют лишь конечные результаты, и у них нет ни времени, ни желания вдаваться в детали доказательств или вникать в точные формулировки теорем. Это столь же неслыханная глупость, как если бы кому-нибудь пришло в голову заявить: «Обрежем корни и листву дерева, потому что нам нужны только его плоды». Математика — единое целое, и тот, кто хочет вкушать от ее плодов, должен, желает он того или нет, не забывать об этом.

Синьора Никколини: Не понимаю, как можно применять математику и в то же время столь безрассудно и злонамеренно идти наперекор ее духу. Я делаю в математике лишь первые шаги и знаю лишь то, что успела почерпнуть у вас, синьор Галилей, во время наших бесед, поэтому с моей стороны было бы непростительной дерзостью, если бы я вздумала высказать свое мнение по столь серьезному вопросу. Но и мне удалось кое-что понять. Впрочем, не стану вас утомлять: ведь все, о чем бы я ни захотела  сказать вам, синьор  Галилей: давно известно.

Галилей. Не робейте, говорите смелее. Мне очень интересно узнать, что вы извлекли для себя из наших бесед. Ваш беспристрастный взгляд нередко позволяет вам подмечать то, что ускользает от многих из моих ученых коллег.

Синьора Никколини. По-моему, нельзя считать, что понял математическую теорему, до тех пор, пока до конца не разобрался в ее доказательстве. Иногда весь смысл теоремы доходил до меня лишь после того, как вы, синьор Галилей, приводили второе доказательство ее, полностью отличное от первого. Должна признаться, что, когда вы в первый раз привели несколько доказательств одной теоремы, мне было  непонятно,  к чему такое обилие доказательств. «Разве не достаточно одного?» — подумала я тогда. Но потом я поняла, что знать несколько доказательств действительно полезно. Скульптуру недостаточно видеть с одной точки зрения. Ее необходимо обойти со всех сторон. Я понимаю, что трудные доказательства отпугивают многих. И я сама не раз пугалась длинной и запутанной цепочки рассуждений, которую мне предстояло проследить шаг за шагом. Я чувствовала себя, как скалолаз, с риском для жизни взбирающийся по крутому склону к вершине: стоит лишь раз оступиться, и упадешь в пропасть. Но когда удалось взобраться на вершину и перед тобой открывается не только пройденный путь, но и бескрайняя ширь, то чувствуешь себя с лихвой вознагражденным за все трудности. Сначала лишь ожидание того сладостного момента, когда содержание теоремы раскрывается во всей своей полноте, давало мне силы следить за ходом трудного доказательства, но со временем я стала замечать, что неожиданный поворот в рассуждениях или использование какого-нибудь тонкого соображения доставляет мне не меньшее наслаждение, чем музыка. Я думаю, что и скалолазам знакомо это чувство: сначала они подвергают себя тяжким испытаниям в предвкушении чудесного вида, который открывается им с вершины горы, но когда они наберутся опыта, то и сам подъем на кручи, преодоление препятствий, изыскание новых приемов скалолазания начинает доставлять им не меньшее удовольствие.

Галилей. Вы даже не знаете, сколь удачно ваше замечание. За всю мою долгую жизнь мне посчастливилось встретить лишь очень немногих учеников, которые бы столь глубоко понимали и меня самого, и дух математики. Поэтому наши беседы доставляют мне живейшую радость. Рассказывая вам что-нибудь новое, я всегда слежу за выражением ваших глаз. Стоит им загореться, как я знаю, что вы ухватили самую суть. На протяжении всей моей жизни огонь в глазах учеников всегда приносил мне глубочайшее удовлетворение. Я позволю себе сравнить этот огонь с пламенем в печи: сначала мы высекаем искру, потом раздуваем ее и лишь потом вспыхивает яркое  пламя.  Иные учителя  пытаются  преподавать математику, заставляя своих учеников выучивать наизусть правила и набивать руку нескончаемыми упражнениями. Основное значение они придают формулированию чисто механических навыков. Таких учителей я считаю круглыми невеждами, их уроки немногого стоят. Истинный учитель стремится к тому, чтобы его ученики докапывались до первопричин, постигли глубинную сущность, и всячески поощряет самостоятельность мышления. Тот, кто, не понимая, в чем суть дела,  выучивает лишь рецепт,  не сможет даже правильно им воспользоваться, ибо хорошо считать может тот, кто хорошо мыслит. Кто только считает, вместо того чтобы мыслить, чаще всего считает слишком   сложным   способом   и  нередко  не  то,  что нужно. Полученный им результат не стоит и выеденного яйца, даже если все сосчитано верно. К сказанному вами я хотел бы добавить лишь два соображения. Математика полезна и даже необходима, если мы  хотим   познать природу и обратить на службу себе ее силы (например,  строить  различные  машины). Но при всем том математика интересна и прекрасна, это — волнующее и увлекательное приключение человеческого разума. Я глубоко убежден, что красота математики не случайна, она заложена изначально в самой природе математики. Подлинная истина всегда прекрасна, а  подлинная красота всегда истинна. Древние греки отлично это знали. Те же философы, о которых я сказал, что они придерживаются  варварских взглядов на математику, этого  не понимают. Они не воспринимают красоту математики, не приближаются к математике настолько, чтобы можно было явственно ощутить ее красоту. Если кому-нибудь из них все же случится заметить, как прекрасна математика, то к своему наблюдению он относится с подозрением. Красоту эти слепцы считают излишней роскошью и полагают, что, отворачиваясь от прекрасного, они становятся ближе к действительности.  Им  доставляет  наслаждение  именовать  себя практиками. К тем же, кто проникся истинным духом математики, они относятся с презрением и называют их  фантастами,  витающими  в  облаках.  Нет  ничего более беспочвенного, чем высокомерие, которым эти люди пытаются скрыть свою ограниченность. Движимый тем же высокомерием, Александр Великий разрубил мечом гордиев узел, когда понял, что не в силах развязать его. При дворах восточных тиранов искусство и наука действительно были роскошью. Но уже у древних греков искусство и наука стали неотделимой частью жизни. Действуя различными средствами, они служили единой цели: познанию человеком самого себя и окружающего мира. Теперь, две тысячи лет спустя, мы, наконец, можем продолжить то, что начали древние греки. И начать нам следует с того, на чем остановился Архимед.

Синьора Никколини. Вы совершенно правы, и наши художники также считают себя преемниками античного искусства. Но, синьор Галилей, вы упомянули о двух замечаниях, а сделали только одно. Где же второе?

Галилей. Мое второе замечание тесно связано с первым. До сих пор я говорил о красоте математики, о радости, которую доставляет постижение математических истин, заставляющей глаза сиять от восторга. В этом отношении математика весьма близка к искусству, волнующему и трогающему нас встречей с прекрасным. Однако эта радость дается не даром, чтобы ощутить ее, необходимо упорно работать. Ваше сравнение со скалолазами весьма удачно, поскольку затрагивает и эту сторону дела. Любое сколько-нибудь заметное продвижение в математике требует напряженной работы ума. Но тот, кто испытал радость познания, постиг красоту математики, не сочтет чрезмерной платой любое напряжение сил. Одну из главных целей обучения математике я вижу в том, чтобы приобщать начинающих к красоте математики и, опираясь на нее, вырабатывать дисциплинированное логическое мышление и умение сосредоточивать всю силу разума на решаемой задаче. Без этих качеств в математике невозможно достичь успеха. И последнее: тот, кто, занимаясь математикой, приобщится к искусству логического мышления, сможет пользоваться им во всех областях жизни.»

После выхода в свет на русском языке этот труд по достоинству оценили отечественные математики. Академик. Б. В. Гнеденко в своем предисловии к книге пишет: «Нередко случается, что во время занятий учащиеся о чем- то переспрашивают и в ответ на свой вопрос слышат те же слова, что и прежде. Как правило, это происходит не оттого, что они их не расслышали первоначально, а просто по какой- то причине сказанное не дошло до их сознания. Что же может добавить повторение того, что уже не было понято? Вот почему при повторном объяснении непременно следует найти новые слова, новый аспект подачи, который бы пробил путь к сознанию учащегося. Наш студент написал по этому поводу: «Этот метод обладает неоспоримыми преимуществами, главное из которых состоит в том, что он приучает аудиторию мыслить самостоятельно, критически». Показать математику в действии как элемент познания процессов природы, экономики и техники – вот один из обязательных элементов обучения математики».

В заключении хочется присоединиться именно к такому пониманию педагогического значения математики.

* Второй архонт, базилевс (греч.), — один из девяти высших сановников в Афинах, ведавший культом и разбором дел, связанных с оскорблением религии и убийствами.