Механика Ньютона

ПРАВИЛА РАССУЖДЕНИЯ


Современным своим видом классическая механика обязана Ньютону (родился в Вулсторпе 25 декабря 1642 г. (1), умер 31 марта 1727 г. в Лондоне).

Вначале интересы молодого Ньютона лежали в области оптики, и особенно экспериментальной оптики, в которой он проявил особый изобретательский дар и технические способности. По мере того как с годами интерес его к экспериментированию ослаблялся и одновременно росло увлечение вопросами теории, Ньютон от оптики постепенно перешел к вопросам механики. Но поскольку его первая книга по механике появилась в 1687 г., а по оптике — лишь в 1704 г., нам представляется удобным и в нашем изложении придерживаться именно этого порядка.

Галилей и Гюйгенс развивали механику тел на поверхности Земли. Работы Ньютона отличаются обобщением принципа инерции и понятия силы, введением понятия массы и распространением области применимости законов механики на всю Вселенную.

Это последнее обобщение, возвратившее миру единство и непрерывность, утерянные в механике Аристотеля, было обосновано Ньютоном с помощью правил рассуждения (regulae philosophandi), которые, хотя они предпосланы третьей части "Philosophiae naturalis principia mathematical ("Математические начала натуральной философии"), характеризуют все его исследования по механике.

Первое правило — не принимать иных причин явлений, кроме тех, что достаточны для их объяснения. Второе правило — всегда относить аналогичные явления к одной и той же причине. Например, свет от кухонного очага и солнечный свет должны вести себя одинаково. Третье правило — считать свойством всех тел вообще такие свойства, которые не могут быть ни ослаблены, ни усилены и присущи всем телам, над которыми мы можем экспериментировать. Это — ньютоновское правило индукции, позволяющее, например, сделать вывод о непроницаемости и протяженности всех тел, хотя эксперимент можно поставить лишь на некоторых. И, наконец, последнее, четвертое правило — считать правильным всякое утверждение, полученное из опыта с помощью индукции, до тех пор пока не будут обнаружены другие явления, которые ограничивают это утверждение или противоречат ему. Сохранившееся лишь в рукописи пятое правило противопоставляет декартовскому иннатизму локковский эмпиризм.

Третье правило позволило Ньютону сформулировать универсальный закон тяготения: если все тела притягиваются к Земле, море притягивается к Луне, а планеты притягиваются к Солнцу, то мы можем заключить, что все тела притягиваются друг к другу. Провозглашая этот закон, Ньютон не намеревается определять причину притяжения:

"Причину этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю (hypotheses non fingo). Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезой, гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам не место в экспериментальной философии. В такой философии предложения выводятся из явлений и обобщаются с помощью индукции. Так были изучены непроницаемость, подвижность и напор (импето) тел, законы движения и тяготение. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно   для  объяснения   всех   движений   небесных  тел  и  моря"...

В этих кратко сформулированных утверждениях, введенных лишь во втором издании 1713 г., отражается полемика с картезианцами. Ньютон противопоставляет "физике гипотез" Декарта "физику принципов". Но принципы — это по существу произвольное обобщение опытных фактов, и кто знает, как их точно отличить от гипотез? Поэтому не удивительно, что, несмотря на этот его "символ веры", Ньютон также прибегает в своих построениях к абстракциям. Однако в целом эта его работа представляет собой, пожалуй, наиболее завершенный образец гармонического слияния данных опыта и теоретических рассмотрений из всех существовавших когда-либо в физике.

Прежде чем дать представление об общем построении этого труда и его характерных особенностях, мы хотим еще раз заметить, что, в то время как для оптических опытов Ньютона (как мы увидим ниже) характерна гениальность постановки и разносторонность, его опыты по механике были значительно более скромными и ограничивались проверкой известных фактов. В механике гений Ньютона проявился прежде всего в упорядочении работ его предшественников и обобщении законов, уже известных в частных случаях.


МАССА


Первые 17 страниц "Начал" (третье издание) содержат основные понятия, аксиоматику классической механики. Эта часть состоит из восьми определений, трех законов движения, следствий из них и одной схолии (поучения).

Понятие массы, вводимое первым определением, впервые было использовано не Ньютоном. В отличие от общепринятого мнения оно постепенно формировалось в течение нескольких поколений. Следы этого можно найти в "Проблемах механики", приписываемых Аристотелю, в механике Герона, и так вплоть до Коперника, Гильберта, Кеплера. Непосредственные предшественники Ньютона (Декарт и Гюйгенс) путали понятия массы и веса. Первое четкое различие между весом и массой мы находим в предисловии к работе Джован Баттисты Бальяни "De motu naturali gravlum solidorum"  ("О естественном движении тяжелых тел"), опубликованной в Генуе в 1638 г. В ней Бальяни рассказывает, что, установив на опыте неверность, общепринятого мнения о пропорциональности скорости падающего тела его весу, он пришел к мысли, что "...в то время как вес ведет себя как действующее начало, вещество ведет себя как пассивное начало, и поэтому тяжелые тела движутся в зависимости от отношения их веса к их веществу; следовательно, если они падают без препятствия по вертикали, то они должны двигаться с одной и той же скоростью, потому что те тела, которые тяжелее, имеют больше вещества или количества вещества").

А в четвертой книге, опубликованной в 1646 г., Бальяни окончательно уточняет это понятие: "Природа тяжелых тел такова, что их вес связан с веществом: каков вес,  а значит, и его способность к действию, таково и количество вещества, а значит, и сопротивление, откуда в результате и вытекают равные эффекты".

Мы видим отсюда, что Бальяни было ясно не только понятие массы, но и ее пропорциональность весу.

Но Ньютон пошел значительно дальше: не только сформулировал это понятие, но и показал фундаментальную роль, которую оно играет в механических процессах. "Начала", собственно, начинаются с определения массы: "Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее".

Для пояснения этого определения Ньютон добавляет, что он называет это количество материи также словами "тело" и "масса" и что количество материи можно определить по весу тела, потому что, как он убедился в результате точнейших опытов с маятниками, веса тел пропорциональны их массам.

Ньютоновское определение массы, которое принималось в течение более чем столетия, вызывало ожесточенную дискуссию. Порочный круг здесь совершенно очевиден: масса определяется через понятие плотности, тогда как плотность есть масса в единице объема. Оставляя в стороне историю споров по поводу этого определения, продолжавшихся вплоть до XIX столетия, заметим лишь, что не определенное или недостаточно определенное понятие не обязательно должно быть само по себе неясным. Часто не удается определить понятие не потому, что мы недостаточно ясно его представляем, а именно потому, что оно слишком известно, настолько известно, что не удается найти более простых понятий, через которые его можно было бы определить. Именно таково понятие массы, совершенно ясное Ньютону и всегда правильно им применявшееся.


СИЛА


Второе определение "Начал" вводит количество движения; третье — то, что мы называем инерцией, а Ньютон называл vis insita ("врожденная сила") или vis inertiae ("сила инерции") материи (это последнее выражение, очевидно, имело иной смысл, чем теперь); четвертое определение вводит vis impressa ("приложенную силу"), которая определяет ускорение; Понятие силы как причины движения ввел еще Кеплер, но он измерял ее скоростью. У Галилея сила была эквивалентна весу, зато в отличие от Кеплера он измерял силу вызванным ускорением. У Ньютона, пожалуй, не было столь ясного представления, как у Галилея. Его четвертое определение гласит: "...приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения" И далее это  определение поясняется следующим образом: "Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы".

Следующие определения, с пятого до восьмого, касаются центростремительной силы, причем Ньютон различает здесь абсолютную силу, ускорительную силу и движущую силу. В качестве примера центростремительной силы Ньютон приводит силу тяжести, магнитную силу, ту силу, которая удерживает планеты на их криволинейных орбитах, каково бы ни было ее происхождение, силу действия руки при раскручивании камня в праще. Из этих примеров ему легко вывести возможность как искусственных спутников Земли (если снаряды выпущены с достаточной скоростью), так и того, что тела, брошенные с Земли в небесное пространство, могут бесконечно продолжать свое движение. Обе эти возможности смогли стать действительностью лишь по истечении трех веков.

В восьмом определении говорится, что движущая величина центростремительной силы измеряется скоростью, приобретаемой в заданный промежуток времени, т. е. в современной терминологии — ускорением. Следовательно, именно эту "движущую величину силы" мы теперь называем приложенной силой и в случае падения тяжелых тел отождествляем с весом. В полемике со сторонниками декартовского понятия вихрей Ньютон так разъяснял понятие силы:

"В дальнейшем я придаю тот же самый смысл названиям "ускорительные" и „движущие" притяжения и импульсы. Название же „притяжение" (центром), импульс или „стремление'" (к центру) я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически, поэтому читатель должен озаботиться, чтобы ввиду таких названий не думать, что я ими хочу определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил или же приписывать центрам (которые суть математические точки) действительно и физически силы, хотя я буду говорить о силах центров и о притяжении центрами".

Несмотря на все эти оговорки, остается фактом, что Ньютон вводил все новые и новые понятия и определения. Он ввел понятие абсолютной центростремительной силы, понятие чисто абстрактное, которое больше никак не упоминается в "Началах". Сила и масса у него — понятия независимые. Такими они и оставались до 1845 г., когда Жан Дюамель (1797—1872) в своем "Cours de mecanique" ("Курс механики") ввел способ определения массы как отношения приложенной к телу силы к приобретаемому телом ускорению, ставший традиционным, несмотря на жестокую критику со стороны Эрнеста Маха.


ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО


После восьми определений следует знаменитое "поучение", послужившее предметом глубоких размышлений и долгих дискуссий сначала для философов, начиная с Канта, а затем, уже в нашем веке, и для физиков.  В этом поучении постулируются абсолютное время и абсолютное пространство, метафизические понятия,  на которых после Ньютона была основана вся физика до XIX столетия. Вот наиболее характерные выдержки:

"1.Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью. Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая,, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного, или математического, времени, как-то: час, день, месяц, год.

2. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным. Относительное есть его мера или какая-либо ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими чувствами по положению его относительно некоторых тел и которое в обыденной жизни принимается за пространство неподвижное...

Возможно, что не существует (в природе) такого равномерного движения, которым время могло бы измеряться с совершенной точностью. Все движения могут ускоряться или замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может...

Время и пространство составляют как бы вместилища самих себя и всего существующего. Во времени все располагается в смысле порядка последовательности, в пространстве — в смысле порядка положения. По самой своей сущности они есть места, приписывать же первичным местам движения нелепо. Вот эти-то места и суть места абсолютные, и только перемещения из этих мест составляют абсолютные движения...

Причины происхождения, которыми различаются истинные и кажущиеся движения, суть те силы, которые надо к телам приложить, чтобы произвести эти движения. Истинное абсолютное движение не может ни произойти, ни измениться иначе, как от действия сил, приложенных непосредственно к движущемуся телу, тогда как относительное движение тела может быть и произведено и изменено без приложения сил к этому телу".

Таким образом, для Ньютона сила является абсолютным элементом, тогда как движение может иметь лишь относительный характер из-за отсутствия абсолютной системы отсчета.


ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ


После определений идут три закона движения: закон инерции, закон пропорциональности силы ускорению и закон о действии и противодействии. Эти три закона, фигурирующие сейчас в любой книге по  физике,  общеизвестны.  Менее  известной и не соответствующей обычаям того времени является дань уважения, которое Ньютон оказывает своим предшественникам: "До сих пор я излагал начала, принятые математиками и подтверждаемые многочисленными опытами. Пользуясь первыми двумя законами и первыми двумя следствиями [о сложении сил], Галилей нашел, что падение тел пропорционально квадрату времени и что движение брошенных тел происходит по параболе; это подтверждается опытом, поскольку такое движение не претерпевает замедления от сопротивления воздуха... Из этих же двух законов и из третьего кавалер Христофор Рен, доктор богословия Иоанн. Уаллис и Христиан Гюйгенс, величайшие геометры нашего времени, вывели законы удара и отражения тел и почти одновременно сообщили их Королев-скому обществу, причем их выводы во всем, касающемся этих законов, между собою согласны"...

Ньютон в свою очередь повторяет опыты по удару, проведенные ранее Реном и Мариоттом, с использованием двух маятников различной массы и приходит к выводу, что количество движения всегда сохраняется при ударе тел, как жестких, так и нежестких, как упругих, так и неупругих.

Далее, чтобы доказать справедливость принципа равенства действия и противодействия, Ньютон так рассуждает для случая притяжения: если бы два взаимно притягивающихся тела были разделены какой-либо перегородкой, и если бы одно тело притягивалось сильнее, чем другое, то препятствие, испытывая с одной стороны большее давление, чем с другой, двигалось бы в направлении большей силы, а в свободном пространстве, двигаясь равномерно ускоренно, ушло бы в бесконечность. Однако это противоречит первому закону. Следовательно, оба тела давят на препятствие одинаково. Этот вывод был подтвержден Ньютоном опытами с магнитом и плавающим куском железа.

 

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ


Рассмотрение центростремительного движения начинается в первой книге и носит геометрический характер. По всей вероятности, Ньютон принял геометрическую форму изложения для того, чтобы его могло понять возможно большее число читателей, хотя он уже разработал к этому  времени дифференциальное исчисление.

В первой книге рассматривается движение тел под действием центральных сил. С помощью очень простого доказательства Ньютон устанавливает справедливость следующей теоремы и обратной ей: движение материальной точки под действием центральной силы является плоским и происходит так, что площадь, описываемая радиусом-вектором, пропорциональна затраченному времени. Затем он устанавливает, что приложенные силы отклонены в сторону движения, если описываемая радиусом-вектором площадь растет все быстрее, и обратно движению при уменьшении прироста площади.

В шестом следствии из предложения IV утверждается, что силы обратно пропорциональны квадратам расстояний, если квадраты периодов обращения пропорциональны кубам расстояний. В предложении VI устанавливается общая теорема о движении по кривой линии вокруг центра. Эта теорема применяется в третьем разделе книги, где рассматривается движение по коническим сечениям. В последующих теоремах Ньютон показывает с помощью рассуждений, за которыми довольно трудно проследить, что если тело движется по коническому сечению, то оно находится под действием центростремительной силы, направленной к одному из фокусов сечения. Отсюда следует, что в этих случаях центростремительная сила обратно пропорциональна квадрату радиуса-вектора. Это новые теоремы механики, достаточные для объяснения эмпирических законов Кеплера и расширяющие область применимости новой динамики на движение планет.

В предложении LIX доказывается, что если система из нескольких тел А, В, С, D,... такова, что тело А притягивает все остальные тела с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и аналогично тело В, то А и В взаимно притягиваются с силой, пропорциональной их массам. В "поучении", следующем за этим предложением, Ньютон вновь обращает внимание на то, что слова "притяжение" и "импульс" употребляются в математическом смысле, чтобы указать на стремление, ведущее к сближению тел друг к другу безотносительно к природе этого стремления.

Двенадцатый раздел, идущий вслед за рассмотренным предложением, посвящен взаимному притяжению двух сферических тел. Центральным пунктом является решение задачи, давно мучившей Ньютона и, как мы увидим в дальнейшем, задержавшей динамическую интерпретацию мира,— задачи о притяжении сферическим телом материальной точки вне него. Ответ на нее Ньютон дает в предложении LXXI: "Частица, находящаяся вне сферической поверхности, притягивается к центру сферы с силой, обратно пропорциональной квадрату ее расстояния от центра сферы".

Иначе говоря, если частица находится вне сферы, то она притягивается так, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в ее центре. Это предположение Галлей выдвинул интуитивно еще до доказательства, предложенного Ньютоном, но Ньютон отказался принять его. Если точка находится внутри сферы, добавляется в предложении LXXIII, то она притягивается с силой, пропорциональной ее расстоянию от центра.

В тринадцатом разделе рассматривается притяжение тел несферической формы. Он является переходным к последнему, четырнадцатому разделу, посвященному движению весьма малых телец под действием сил притяжения к большим телам. Эти теоремы применялись для рассмотрения отражения и преломления света. Но это применение, спешит заверить Ньютон, не будет следствием какой-либо гипотезы о природе света, корпускулярной или иной, а вытекает лишь из установленной на опыте аналогии между траекторией этих малых телец и траекторией световых лучей. Действительно, наблюдения затмений спутников Юпитера показывают, что свет распространяется с конечной скоростью. Закон преломления Декарта — Снеллиуса совпадает с законом поведения указанных малых тел. Опыты Гримальди показывают, что лучи света притягиваются и загибаются, проходя у острых углов тел. Наконец, как доказывают и теоремы механики для материальных частиц, "...отражение луча происходит не в точке падения, а постепенно непрерывным искривлением луча, происходящим частью в воздухе, ранее достижения стекла, частью (если не ошибаюсь) в самом стекле, после проникновения в него".

В общем Ньютон пытался доказать, что корпускулярная структура света — не гипотеза, а результат экспериментальных данных. Хотя рассуждения Ньютона здесь и не очень убедительны, все же аналогия между движением малых телец и распространением света позволила Ньютону закончить книгу рядом предложений, полезных для построения линз.

 

ДВИЖЕНИЕ В ЖИДКОСТИ


Вся первая книга "Начал" написана в предположении, что тела движутся в среде без сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают найденные законы движения, когда тела движутся в жидкости, как это имеет место в земных условиях.

Уаллис ввел предположение о том, что сопротивление жидкости движению тела пропорционально скорости этого тела. Однако Гюйгенс заметил, что с увеличением скорости тела возрастает масса перемещенной жидкости, так что сопротивление должно быть пропорционально квадрату скорости. Ньютон рассматривал оба эти случая. Он заметил, что движущееся в жидкости тело должно не только смещать жидкость, но и преодолевать ее вязкость; поэтому он считает сопротивление равным сумме двух членов; одного — пропорционального квадрату скорости и другого — пропорционального скорости.

Результаты теории применены к движению брошенных тел в воздухе, к движению тел под действием центростремительных сил в среде с сопротивлением и к движению маятника. Экспериментальная проверка произведена в опытах с маятниками и с падением тел в воздухе и воде. Затем Ньютон предпринял исследование влияния формы тела на сопротивление, испытываемое им при движении, и сформулировал теорему о пропорциональности сопротивления при прочих равных условиях максимальной площади сечения тела, перпендикулярного направлению движения. Этот результат привел его, естественно, к исследованию аэродинамических профилей, если говорить современным языком, т. е. такой формы тел, которой при прочих равных условиях соответствует наименьшее сопротивление движению в жидкости.

В предложении XXVI рассматривается истечение жидкостей из сосудов. Многие экспериментаторы, начиная с Торричелли, занимались этим, но мало что добавили нового. Ньютоново рассмотрение в первом издании также оставляет желать лучшего. Но во втором издании Ньютон дал точный вывод скорости истечения. Он заметил сжатие струи жидкости у отверстия и приближенно измерил его, но дал ему неудовлетворительное объяснение, основываясь на представлении о сходимости нитей потока жидкости. Немного позже (в 1718 г.) независимо от Ньютона это же явление исследовал Джованни Полени (1683—1761), который определил влияние отверстия на истечение и заметил, что сжатие струи исчезает, если к отверстию, через которое вытекает жидкость, добавить короткую цилиндрическую трубку.


АКУСТИКА


Большое значение имеет восьмой раздел второй книги, в котором разработана теория волнового распространения движений в тяжелых средах. Ньютон начинает с колебательного движения жидкости в U-образном сосуде и показывает, что колебания жидкости подобны колебаниям маятника. Затем он показывает, что возмущение, вызванное в точке А жидкости, распространяется волнообразно и если оно попадает на отверстие ВС в препятствии KN, то за препятствием волны этого возмущения имеют началом отверстие ВС. В предложении XLVI впервые применяется, по крайней мере как термин, общепринятое сейчас выражение "длина волны" (undarum latitudо). В предложении XLVIII находится скорость распространения упругих волн, равная квадратному корню из отношения модуля упругости к плотности среды. В последнем "поучении" Ньютон заключает, что эти предложения применимы к распространению звука, который есть не что иное, как толчки воздуха. Это обстоятельство позволяет провести экспериментальную проверку теории путем измерения скорости распространения звука с учетом того, что из-за изменения температуры, а следовательно, и упругости, скорость звука должна быть летом больше, чем зимой.

В промежутке между первым и вторым изданием "Начал" в 1700— 1707 гг. вышли мемуары Жозефа Савёра (1653—1716) по акустике, опубликованные Парижской Академией наук. В этих прекрасных мемуарах Савёр рассматривает явление, хорошо известное конструкторам органов: если две трубы органа издают одновременно два звука, лишь немного отличающиеся по высоте, то слышны периодические усиления звука, подобные барабанной дроби. Савёр объяснил это явление периодическим совпадением колебаний обоих звуков. Если, например, один из двух звуков соответствует 32 колебаниям в секунду, а другой — 40 колебаниям, то конец четвертого колебания первого звука совпадает с концом пятого колебания второго звука и, таким образом, происходит усиление звука. На этом явлении и его истолковании Савёр построил метод определения числа колебаний в секунду, т. е. частоты звука. От органных труб Савёр перешел к экспериментальному исследованию колебаний струны, наблюдал узлы и пучности колебаний (эти названия, существующие до сих пор в науке, введены им), а также заметил, что при возбуждении струны наряду с основной нотой звучат и другие ноты, длина волны которых составляет 1/2, 1/3, 1/4, ... от основной. Он назвал эти ноты высшими гармоническими тонами, и этому названию суждено было остаться в науке. Наконец, Савёр первый пытался определить границы восприятия колебаний как звуков: для низких звуков он указал границу в 25 колебаний в секунду, для высоких — 12 800.

Во втором издании "Начал" Ньютон, основываясь на этих экспериментальных работах Савёра, дал первый расчет длины волны звука и пришел к выводу, хорошо известному сейчас в физике, что для любой открытой трубы длина волны испускаемого звука равна удвоенной длине трубы. "И в этом состоят главнейшие звуковые явления".

Такими словами Ньютон заканчивает эту часть труда с чувством удовлетворения, ибо ему удалось превратить акустическую науку в раздел механики, чем она остается и поныне.


 


Страница 1 - 1 из 2
Начало | Пред. | 1 2 | След. | КонецВсе

© Все права защищены http://www.portal-slovo.ru

 
 
 
Rambler's Top100

Веб-студия Православные.Ру